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Formel- und Begriffsammlung
zu den verwendeten Zeichen siehe Zeichenliste
F1 Die Cassini-Kurve
benannt nach dem Astronomen und Mathematiker Cassini
Diese Kurve entsteht, wenn sich ein Punkt P so um zwei Brennpunkte F1 und F2 bewegt, dass das Produkt seiner Abstände zu diesen konstant bleibt. Je nachdem wie sich dabei a (P-F1) zu b (P-F2) verhält, bilden sich verschiedene Kurvenscharen.
c entspricht b
Die besondere Kurvenform der Lemniskate, der 8, entsteht, wenn für alle b =a gilt; dann weist der eine Kurvenast nach aussen, der andere nach innen.
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F2 Die Orthogone
ὁι ὀρϑώγωνοι
Das Quadrat steht im Verhältnis 1:1,000.
Das Hemidiagon steht im Verhältnis 1:1,118.
Das Trion steht im Verhältnis 1:1,154.
Das Quadriagon steht im Verhältnis 1:1,207.
Das Biauron steht im Verhältnis 1:1,236.
Das Penton steht im Verhältnis 1:1,376.
Das Diagon steht im Verhältnis 1:1,414.
Das Bipenton steht im Verhältnis 1:1,458.
Das Hemiolion steht im Verhältnis 1:1,500.
Das Auron steht im Verhältnis 1:1,618.
Das Sixton steht im Verhältnis 1:1,732.
Das Biquadrat steht im Verhältnis 1:2,000.
aus «Das Buch vom Rechteck»
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F3 Längenmasse (english-deutsch)
ft ... feet (Fuss), in... inch (Zoll), l ... line, mi ... mile (Meile), yd ... yard (Elle) cm ... Zentimeter, km ... Kilometer, m ... Meter, mm ... Millimeter
1 l = 2,12 mm
1 in = 12 l = 2,54 cm
1 ft = 12 in = 30,48 cm
1 yd = 3 ft = 91,44 cm
1 (statute) mi = 1760 yd = 1,609 km
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F4 Zeitverhältnisse
a ... annus (Jahr), d ... dies (Tag), h ... hora (Stunde), M ... mensis (Monat), min ... minuta, -p ... platonicus (platonisch) s ... secunda, sd ... septemdies (Woche)
1 a = 12 M = 365,25 d (52 sd)
1 ap = 25920 a ⇒ 1 Mp = 2160 a ⇒ 1 dp = 70,965092 a (1 sdp = 496,75564 a)
1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s
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F5 Temperaturskalen
Temperatur in °C(elsius), °F(ahrenheit) oder °K(elvin)
0°C = 32°F = 273,15°K
-17,777778°C = 0°F = 255,372222°K
-273,15°C = -459,67°F = 0°K (absoluter Nullpunkt = Wärmelosigkeit)
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F6 Stammtonverhältnisse
physikalisch
C (do), D (re), E (mi), F (fa), G (sol), A (la), H (si bzw. B)
C-C ... 1 Prim: C_C schwingt 1:1
C-D ... 2 Sekund (gross): c"_d" schwingt 8:9
C-E ... 3 Terz (gross): c'_e' schwingt 4:5
C-F ... 4 Quart: g_c' schwingt 3:4
C-G ... 5 Quint: c_g schwingt 2:3
C-A ... 6 Sext (gross): c"_a" schwingt 8:13
C-H ... 7 Septim (gross): c"_h" schwingt 8:15
C--c ... 8 Oktav: C_c schwingt 1:2
aus «dtv-Atlas zur Musik»
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F7 Planetenverhältnisse
astronomisch
♆ NEPTVNVS ... Umlauf 164,788 a bei ~5,4 km/s und 1°46,4' Bahnneigung¹ zur Ekliptik Ø 49000 km bei 17,23 Erdmassen ⇒ 1,7 g/cm³ ⇒ 23,7 km/s Albedo 0,62
⛢ URANVS ... Umlauf 84,015 a bei ~6,8 km/s und 0°46,4' Bahnneigung Ø 50800 km bei 14,55 Erdmassen ⇒ 1,21 g/cm³ ⇒ 20,6 km/s Albedo 0,66
♄ SATVRNVS ... Umlauf 29,458 a bei ~9,6 km/s und 2°29,4' Bahnneigung Ø 120000 km bei 95,22 Erdmassen ⇒ 0,69 g/cm³ ⇒ 33,4 km/s Albedo 0,42
♃ JVPITER ... Umlauf 11,862 a bei ~13,1 km/s und 1°18,3' Bahnneigung Ø 142496 km bei 318,00 Erdmassen ⇒ 1,33 g/cm³ ⇒ 57,6 km/s Albedo 0,51
♂ MARS ... Umlauf 1,881 a bei ~24,1 km/s und 1°51,0' Bahnneigung Ø 6794 km bei 0,107 Erdmassen ⇒ 3,95 g/cm³ ⇒ 5,1 km/s Albedo 0,15
☉ SOL ... Umlauf 1 a bei ~29,8 km/s und 0° Bahnneigung (vgl. ♁) Ø 1392000 km bei 332270 Erdmassen ⇒ 1,41 g/cm³ ⇒ 617,3 km/s Stella
♀ VENVS ... Umlauf 0,615 a bei ~35,0 km/s und 3°23,7' Bahnneigung Ø 12103 km bei 0,815 Erdmassen ⇒ 5,16 g/cm³ ⇒ 10,3 km/s Albedo 0,76
☿ MERCVRIVS ... Umlauf 0,241 a bei ~47,9 km/s und 7°00,3' Bahnneigung Ø 4892 km bei 0,053 Erdmassen ⇒ 5,44 g/cm³ ⇒ 4,2 km/s Albedo 0,06
☽ LVNA ... Umlauf 27 d 7 h 43 min 11,5 s bei ~1,023 km/s und 5°09' Bahnneigung Ø 3476 km bei 0,0123 Erdmassen ⇒ 3,342 g/cm³ ⇒ 2,37 km/s Albedo 0,073
♁ TERRA ... Umlauf 1 a bei ~29,8 km/s und 0° Bahnneigung (vgl. ☉) Ø 12756 km bei 1 Erdmasse ⇒ 5,52 g/cm³ ⇒ 11,2 km/s Albedo 0,39
aus «dtv-Atlas zur Astronomie»
¹ siehe auch NASA-Darstellung
platonisch
♄ ↝ H e x a e d e r ↜ ♃
♃ ↝ T e t r a e d e r ↜ ♂
♂ ↝ D o d e k a e d e r ↜ ♁
♁ ↝ I k o s a e d e r ↜ ♀
♀ ↝ O k t a e d e r ↜ ☿
aus «Weltharmonik»
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F8 Platonische Körper
klassisch lt. «Timaios»; 54d-56b/S.91ff
Tetraeder (Vierflächner) aus 4 Trigonen (3ecken)
Hexaeder (Sechsflächner, auch Kubus od. Würfel) aus 6 Quadraten (rechtwinkeligen 4ecken)
Oktaeder (Achtflächner) aus 8 Trigonen (3ecken)
Dodekaeder (Zwölfflächner) aus 12 Pentagonen (5ecken)
Ikosaeder (Zwanzigflächner) aus 20 Trigonen (3ecken)
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F9 Kongruente Figuren
Kongruente (~ deckungsgleiche) Figuren gibt es im ganzen zwölf, acht ursprüngliche (primäre):
01. Dreieck (Kongruenz 1.Grades) 02. Viereck (Kongruenz 1.Grades) 03. Fünfeck (Kongruenz 2.Grades) 04. Sechseck (Kongruenz 3.Grades) 05. Achteck (Kongruenz 4.Grades) 06. Zehneck (Kongruenz 4.Grades) 07. Zwölfeck (Kongruenz 5.Grades) 08. Zwanzigeck (Kongruenz 6.Grades)
und vier erweiterte (Sterne):
09. Fünfeckstern (Kongruenz 2.Grades) 10. Achteckstern (Kongruenz 4.Grades) 11. Zehneckstern (Kongruenz 4.Grades) 12. Zwölfeckstern (Kongruenz 5.Grades)
aus «Weltharmonik»
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F10 Siebenzahlordnung
im Zwölferblock
001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
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F11 Primzahlenordnung
im Zwölferblock
001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen, die ja nur durch eins und sich selbst teilbar sind, auffassen. Eine solche Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Daran hängt die gesamte Zahlentheorie.
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F12 Summen der ersten zwölf Zahlen
Zahl: Summanden = Summe > (reduziert auf) Grundzahl
01: 1 = 1 > 1 02: 1+2 = 3 > 3 03: 1+2+3 = 6 > 6 04: 1+2+3+4 = 10 > 1 05: 1+2+3+4+5 = 15 > 6 06: 1+2+3+4+5+6 = 21 > 3 07: 1+2+3+4+5+6+7 = 28 > 1 08: 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 > 9 09: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 > 9 10: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 > 1 11: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 = 66 > 3 12: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 78 > 6
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F13 Atom-Molekül-Exempel
Materie-Stoff-Beispiel
Im Ammoniakmolekül (NH₃) schwingt 1 Stickstoffatom (N) zwischen 3 gleichseitig angeordneten Wasserstoffatomen (H) mit 23870,4 MHz.
(Grundlage der Atomuhren)
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F14 Wochentagskalender 1857-2064
zur Bestimmung des jeweiligen Wochentags
J a h r e s t a f e l		M o n a t s t a f e l
1 8 5 7 - 1 9 5 2 ................ 1 9 5 3 - 2 0 6 4		J . F . M . A . M . J . J . A . S . O . N . D
1857 1885 0000 1925 ....... 1953 1981 2009 2037		4 | 0 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2
1858 1886 0000 1926 ....... 1954 1982 2010 2038		5 | 1 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3
1859 1887 0000 1927 ....... 1955 1983 2011 2039		6 | 2 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4
1860 1888 0000 1928 ....... 1956 1984 2012 2040		0 | 3 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6
1861 1889 1901 1929 ....... 1957 1985 2013 2041		2 | 5 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0
1862 1890 1902 1930 ....... 1958 1986 2014 2042		3 | 6 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1
1863 1891 1903 1931 ....... 1959 1987 2015 2043		4 | 0 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2
1864 1892 1904 1932 ....... 1960 1988 2016 2044		5 | 1 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4
1865 1893 1905 1933 ....... 1961 1989 2017 2045		0 | 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5
1866 1894 1906 1934 ....... 1962 1990 2018 2046		1 | 4 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6
1867 1895 1907 1935 ....... 1963 1991 2019 2047		2 | 5 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0
1868 1896 1908 1936 ....... 1964 1992 2020 2048		3 | 6 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2
1869 1897 1909 1937 ....... 1965 1993 2021 2049		5 | 1 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3
1870 1898 1910 1938 ....... 1966 1994 2022 2050		6 | 2 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4
1871 1899 1911 1939 ....... 1967 1995 2023 2051		0 | 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5
1872 0000 1912 1940 ....... 1968 1996 2024 2052		1 | 4 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0
1873 0000 1913 1941 ....... 1969 1997 2025 2053		3 | 6 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1
1874 0000 1914 1942 ....... 1970 1998 2026 2054		4 | 0 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2
1875 0000 1915 1943 ....... 1971 1999 2027 2055		5 | 1 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3
1876 0000 1916 1944 ....... 1972 2000 2028 2056		6 | 2 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5
1877 1900 1917 1945 ....... 1973 2001 2029 2057		1 | 4 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6
1878 0000 1918 1946 ....... 1974 2002 2030 2058		2 | 5 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0
1879 0000 1919 1947 ....... 1975 2003 2031 2059		3 | 6 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1
1880 0000 1920 1948 ....... 1976 2004 2032 2060		4 | 0 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4 | 0 | 3 | 5 | 1 | 3
1881 0000 1921 1949 ....... 1977 2005 2033 2061		6 | 2 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5 | 1 | 4 | 6 | 2 | 4
1882 0000 1922 1950 ....... 1978 2006 2034 2062		0 | 3 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 2 | 5 | 0 | 3 | 5
1883 0000 1923 1951 ....... 1979 2007 2035 2063		1 | 4 | 4 | 0 | 2 | 5 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6
1884 0000 1924 1952 ....... 1980 2008 2036 2064		2 | 5 | 6 | 2 | 4 | 0 | 2 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1
W o c h e n t a g s s c h l ü s s e l		Anwendung:
Sonntag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag	01 - 08 - 15 - 22 - 29 - 36 02 - 09 - 16 - 23 - 30 - 37 03 - 10 - 17 - 24 - 31 04 - 11 - 18 - 25 - 32 05 - 12 - 19 - 26 - 33 06 - 13 - 20 - 27 - 34 07 - 14 - 21 - 28 - 35	Auf welchen Wochentag fiel zB. der 3. Jänner 1955? In der Jahrestafel 1955 suchen und in dessen Zeile in der Monatstafel die Jänner-Monatszahl (6), diese zur Zahl des Monatstages (3) addieren; die Summe (6 + 3 = 9) ergibt den Wochentagsschlüssel (09), der den Montag als gesuchten Wochentag ausweist.
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F15 Vollkommene Zahlen
zeichnen sich dadurch aus, dass
a) sie stets durch eine Summe aufeinanderfolgender ganzer Zahlen gebildet werden:
6 = 1+2+3 28 = 1+2+3+4+5+6+7 496 = 1+2+3+...+29+30+31 8128 = 1+2+3+...+125+126+127 usf.
b) sie stets aus dem Produkt zweier Zahlen gebildet werden, deren eine eine Potenz der Zahl 2 und deren andere die jeweils nächsthöhere Zweierpotenz minus 1 ist:
6 = 2×(2²-1) 28= 2²×(2³-1) usf.
c) die Ziffernsummen ihrer Teiler stets sie selbst ergeben:
6 > 1+2+3 = 6 28 > 1+2+4+7+14 = 28 496 > 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 usf.
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F16 Tangente und Asymptote
Berührungsparadox
Im Gegensatz zur Tangente, einer Geraden, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt, ist die Asymptote eine Kurve, die sich einer gegebenen Geraden oder Kurve im Unendlichen beliebig annähert, diese jedoch nie berührt.
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F17 Teilchen der Materie
aktuelle Gliederung
Atombestandteile
Atome sind chemisch nicht weiter teilbare Bausteine der Materie. Ein Wasserstoffatom (als Muster) besteht aus je einem Elektron, einem negativ geladenen Lepton bzw. einer als Quantenobjekt im Atom stehenden Materiewelle, sowie Neutron, einem ladungsneutralen Baryon (Quarkpaket udd im Quantenschaum), daher Fermion als Nukleon, und Proton, einem positiv geladenen Baryon (Quarkpaket uud im Quantenschaum), daher Fermion als Nukleon.
Ferner sind Ionen negativ (Anionen) oder positiv (Kationen) geladene Atome bzw. Moleküle.
Elementarteilchengruppen
Baryonen unterliegen der starken Wechselwirkung; sie tragen den Spin¹ ½, weil sie jeweils aus drei verklebten Quarks bestehen.
Bosonen, die Kraftüberträger, tragen stets den Spin 1 (seit 4.VII.2012 indirekt nachgewiesene und im Juli 2023 letztmals vermessene Ausnahme: das ladungslose Higgs mit Spin 0 und Masse 125,11 GeV).
Fermionen, die Grundbausteine der Materie, tragen stets den Spin ½.
Hadronen sind Baryonen und Mesonen.
Leptonen sind Fermionen, die der schwachen Wechselwirkung und der Gravitation unterliegen.
Mesonen unterliegen der schwachen und der starken Wechselwirkung; sie tragen den Spin 1, weil sie jeweils aus zwei verklebten Quarks bestehen.
Elementarteilchenarten
Gluonen (g) sind ladungs- und masselose Eichbosonen mit Spin 1 und gelten als Austauschteilchen der starken Wechselwirkung, die Quarks im Quantenschaum zu Paketen verkleben und dadurch indirekt für die Anziehung von Neutronen und Protonen in einem Atomkern sorgen.
Higgs (siehe Bosonen)
Neutrinos (ν) sind Leptonen mit äusserst kleiner Wechselwirkungswahrscheinlichkeit; je nach Flavour werden Elektron-, Myon- und Tauneutrinos unterschieden.
Photonen (γ) sind ladungs- und masselose Eichbosonen mit Spin -1 und gelten als elementare Anregung (Quanten) des quantisierten elektromagnetischen Felds; sie erscheinen je nach Versuch als Teilchen oder Welle.
Quarks sind Elementarteilchen, die der Gravitation sowie der schwachen, der starken und der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen; sie werden in orthograd up (u) mit Spin +½ und retrograd down (d) mit Spin -½ unterschieden; durch Gluonen zu Paketen verklebt lassen sie Hadronen emergieren; darüberhinaus kennt man noch die instabilen Verwandten charm (c) und top (t) sowie strange (s) und bottom (b).
W-Bosonen (w+ bzw. w-) sind Eichbosonen mit Spin 1, Ladung ±1 und Masse 80385 und gelten als Austauschteilchen der geladenen Ströme der schwachen Wechselwirkung; zu vielen Prozessen tragen sie nur virtuell bei.
Z-Bosonen (z°) sind ladungslose Eichbosonen mit Spin 1 und Masse 91188 und gelten als Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung, ohne die jeweilige Teilchenart (deren "flavour") zu verändern.
Zum materiewissenschaftlichen Verständnis unsres Universums braucht es eine vierdimensionale QuantenFeldTheorie (wie das aktuelle Standardmodell), die 12 Felder für die bekannten Materieteilchen (zB. Elektronen, Neutrinos u. Quarks) enthält sowie 4 Kraftfelder, die drei Grundkäfte (elektromagnetische, schwach² und stark wechselwiksame) erzeugen, und 1 Higgs-Feld, welches den Teilchen spezifisch Masse verleiht. Die Interaktionen dieser 17 Komponenten werden in einer Gleichung dargestellt. So betrachtet, emergiert unsere Welt aus fortwährender Fluktuation jener Felder ineinander, was geisteswissenschaftlich als komplexer Willensausdruck beschrieben werden kann.
¹ Mathematisch gelten Spin 2 als Drehimpuls um 180° bis zur räumlichen Gleichbildlichkeit, Spin 1 als Drehimpuls um 360° bis zur räumlichen Gleichbildlichkeit und Spin ½ als Drehimpuls um 720° bis zur nichträumlichen Gleichbildlichkeit. ² braut sich aus 2 Feldern zusammen
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F18 Elektroenzephalographie
Bei der Elektroenzephalographie (EEG) werden die Hirnströme mittels Elektroden auf der Kopfhaut (also noninvasiv, erstmals 1924 von H.Berger) gemessen, wobei die Summenaktivität vieler Nervenzellen vor allem der Grosshirnrinde erfasst wird. Man unterscheidet verschiedene Frequenzbereiche (Oszillationen, Rhythmen) wie zB.
Alpha-Rhythmus mit 8 bis 12 Hertz bei geschlossenen Augen,
Beta-Rhythmus mit 13 bis 30 Hertz bei Denkaktivität und
Gamma-Rhythmus mit 30 und mehr Hertz bei erhöhter Denkaktivität (Erinnern, Lernen).
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F19 Standardmodell und Quantenmechanik
Lokaler Realismus (im Standardmodell lt. Einstein, Podolsky und Rosen)
Realität: Ein Teilchen - zB. ein Photon - soll bestimmte Eigenschaften haben, unabhängig davon, ob das Photon physikalisch vermessen wird oder nicht.
Lokalität: Die Messung des Teilchens A beeinflusst nicht die Eigenschaften des Teilchens B, wenn die beiden Teilchen räumlich getrennt sind.
Quantenmechanik (lt. Heisenberg ua.)
Realität: Erst dann hat ein Teilchen eine bestimmte Eigenschaft, wenn es vermessen wurde. Bis zur Messung hat das Teilchen zwei mögliche Eigenschaften. Die Quantentheorie kann nur die Wahrscheinlichkeit einer Eigenschaft voraussagen. Demnach darf von einer physikalischen Messung kein vorher festgelegtes Ergebnis erwartet werden, ähnlich wie von einem Münzwurf.
Lokalität: Es lassen sich Teilchenpaare erzeugen, bei denen die Vermessung von Teilchen X die Eigenschaft von Teilchen Y festlegt, dh. die Teilchen sind „verschränkt”. Das geschieht ohne Austausch von Signalen bei beliebiger Entfernung der beiden Teilchen voneinander (Einstein nannte dies einst „spukhafte Fernwirkung”).
Bell entwickelte 1964 eine Ungleichung, die gelten müsste, wenn die Welt dem lokalen Realismus entspräche. Bis heute (November 2021) hat sich deren Geltung nicht ergeben.
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F20 Verhältniszahlen φ (Phi) und π (Pi)
Die Zahl (∈ ℝ\ℚ) φ = 1,618033..., auch goldener Schnitt oder Logoszahl genannt, gibt das Verhältnis zweier Größen an, deren kleinere zur größeren steht wie die größere zur Summe der beiden, nämlich x = (1+√5)/2. Sie tritt in Pentagon und Pentagramm auf und benennt das harmonisierende Tun bejahenden Schöpfungswillens. Symbolisch mag sie dem Christusmonogramm Α☧ω (ΑΧΡω) innewohnen.
Die Zahl (∈ ℝ\ℚ) π = 3,141592..., auch Kreiszahl oder Archimedes-Konstante genannt, gibt das Verhältnis des Durchmessers eines Kreises zu dessen Umfang an, nämlich U/⌀. Sie tritt in Kreisberechnungen auf und benennt die Abläufe des Lebendigen im Entstehen und Vergehen.
[wird bei Bedarf ergänzt oder erweitert]
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